Matemaatika ei ole täppisteadus!
* Et kas siis 2 + 2 ei võrdugi 4? Võrdub, rahu.
* Milles siis probleem? Lõpmatusega.
Mitte just palju aega tagasi palusin matemaatika õpetajal selgitada, miks arv astmes null võrdub ühega. Et tahaksin aru saada. Vastuseks öeldi, et matemaatikas nii lihtsalt on. No tore.
Meenub veel rasvaselt trükitud lause põhikooli matemaatikaõpikust, et negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt võtta - selgub, et saab küll.
Ja mis veel põhikooli matemaatikast, näiteks tehted kümnendmurdudega. Täpsemalt siis 'perioodilise kümnendmurru teisendamine harilikuks murruks'.
Ütleme, et meil on arv 1,999... ja nii lõpmatuseni. Ja ütleme, et meil on vaja lahendada ülesanne, aga see eeldab harilikku murdu. Hea, teisendame siis. Teisendamise tagajärjel saame teada, et see murd võrdub kahega. Jah just, 1,999... = 2. No kurat, ei võrdu ju!
Aga meie teadlastele, jõhkralt täppisteadlastele sellest piisab. Piisavalt täpne!? WTF? Kas see on täpne või ei ole? Ei see ei võrdu, see ei ole täpne; see on umbes, nibin nabin, enam vähem, peaaegu, aga mitte täpne.
Miks me pole suutnud välja arvutada universumi lõplikke saladusi? See on selle pärast, et me ei suuda ringi raadiuse alusel välja arvutada isegi ringjoone pikkust. Täpset pikkust ma mõtlen. No kohe täitsa täpset, lõplikult täpset. Pole võimalik, sest pii on irratsionaalarv. Sarnaseid näiteid on ohtralt.
Kõige selle juures tehakse nägu, et oleme kohe kohe avastamas universumi lõplikke saladusi. Jopp küll, see on religioon, mitte teadus.
Huvitav teema siin püsti - kiusatus on siiski see aste 0 ära klaarida.
VastaKustutaArvu astmes n saame, kui korrutame arvu iseendaga n korda. See on astme definitsioon, kui n on naturaalarv ja n > 0. (Mõned arvavad nimelt, et 0 on ka naturaalarv, sest on ka nagu loendamise tulemus)
Sellel astendamisel on olulised omadused, mis tuleks säilitada ka siis, kui tahame saada head astendamise definitsiooni kõikide täisarvude jaoks. Üks olulisem omadus on selline: kui korrutame a**n a-ga, siis astendaja muutub ühe võrra suuremaks. Saame
a*(a**n) = a**(n+1)
Teisipidi on jälle väga oluline omadus: kui jagama a**n a-ga, siis astendaja väheneb ühe võrra: (a**n)/a = a**(n-1).
Kui jagame a astmes ühe a-ga, saame ühe.
a**1 / a = 1
teiselt poolt võiks olla:
a**1 / a = a**(1-1) = a**0
Nii tuleb välja, et a**0 peab olema üks. Negatiivse astendaja definitsioon tuleb ka seetõttu selline, et negatiivse astendajaga -n aste on arvu pöördarv astmes n.
Astendamise omadusi säilitada püüdes saame lõpuks nii kätte ka murdarvulised astendajad ... ja nii edasi ...
Hilberti hotell on üks huvitav mõttekonstruktsioon, mis matemaatikute lõpmatuste paradokse alla kriipsutab. See 1.9999... = 2.00000... on üks väike häda suuremate kõrval, lihtsalt kümnend või kahend või kolmendmurde saab mõnikord, kui jagamistulemus tuleb täpselt välja, kirjutada kahel erineval viisil ja enamasti ei saa. 1/3 = 0.3333 ... seda ei saa kahel viisil kirjutada kümnendsüsteemis ja kolmendsüsteemis jälle saab:
1/3 = 0.1 = 0.022222222 ... KOLMENDSÜSTEEMIS.
1/3 aga on ka 2/6 või 3/9 ... Et ratsionaalarve üheselt esitada, peab tegelema murdude taandamisega, mis on jälle üks paras "peavalu". Irratsionaalarvud on aga alati piirväärtused, täpsest irratsionaalarvu väärtusest ei saagi rääkida. reaalses elu see protsess tuleb lõpetada kusagil, ruutjuur 2 lõpetada näiteks kohal 1.412 ... Ruutjuur 2 pikkust saaks kujutada küll sirkliga n.ö. täpselt s.t. defineerime arvu "täpse" kujutamise võimalikuks, kui seda saab teha SIRKLI ja JOONLAUA abiga, aga harva saab irratsionaalarvu nii kujutada. Ringjoone pikkust sirkli abiga aga ei saa lõiguna kujutada sirkli abiga mitte ühegi väega.
Selgitan seda, miks 1,(99)=2.
VastaKustutaKasutades täiesti tavalist kümnendmurdude ja tava-murdude vahelist konverteerimise võtet saan:
x=1,(99)
10*x = 10 * 1,(99)
10*x = 19,(99)
10x - x = 19,(99) - 1,(99) = 18
9x = 18
9x/9 = 18/9
x = 2
x = 1,(99) = 2
Tegelikult täpsuses ei ole matemaatikutel probleemi, küll aga on probleem selles, et erinevad matemaatikute koolkonnad kasutavad erinevaid definitsioone. Näiteks osad matemaatikud ei pea arvu 0 naturaalarvuks, hakates loendama arvust 1, mitte arvust 0. Osadele matemaatikutele ei meeldi 0-pikkusega vektorid, sest siis ei saa vektorist vektori suunda teada. See tähendab, et kui mingit matemaatiku õpikut või teadusartiklit lugeda, siis tuleb väga hoolas olla uurimisel, et mis eeldusi antud teose autor kasutab.
VastaKustutaÕppe poole peal, eriti just põhikoolis ja gümnaasiumis, on minu meelest matemaatikute/matemaatika-õpetajate SUURIM EKSIMUS see, et nad ei selgita lahti, miks nende poolt õpetatav ÕPPIJA JAOKS AKTUAALNE on. Rõhutan, et aktuaalsus ei ole sama, mis kasulikkus, vaid aktuaalsus kajastab just ELULISUST, INIMESE JAOKS PRIORITEETIDELT OLULISUST. Ülikooli tasemel aga unustatakse selgitada, et tegelikult tudengid peavad erinevaid matemaatika-harusid õppima mitte selleks, et neil tulevikus täpselt seal toodud ülesandid lahendada tuleks, vaid selleks, et inimesel praktilises töös, jah, PRAKTILISES TÖÖS, ette tulevate ülesannete korral OLEKS ERINEVATE LAHENDUSKÄIKUDE NÄIDISTE VAHEL VALIDA, millest siis ISE KOKKU KOMBINEERIDA ANTUD ÜLESANDELE SOBIV UUS LAHENDUSKÄIK ja iga matemaatika-haru pakub lihtsalt lisa-valikuid, mille hulgast valida, mitte valmis lahendusi. Põhikooli- ja keskkooli-matemaatika üks suur puudus on paraku see, et neid matemaatika-tunde on nii vähe, et lihtsalt ei ole võimalik anda sellist head ülevaadet matemaatika erinevatest harudest, millest siis ka see TÕSISELT EKSLIK mulje, et matemaatika piirdubki vaid arvudega tegelemisega, liitmine-lahutamine-astmed-integraalid-litsamad_võrrandisüsteemid. Tegelikult on ju matemaatika osaks ka näiteks mänguteooria, statistika, erinevad optimeerimismeetodid, loogika (mis ei piirdu vaid Boole'i loogikaga, vaid on palju rikkalikum kui isegi IT-tudengitele asja harilikult bakalauruse-tasemes serveeritakse), graafiteooria, sõlmeteooria (teooria nööride sõlmede kohta)
https://en.wikipedia.org/wiki/Knot_theory
jne. Tegelikult on teoreetiline füüsika ja arvutiteadus hoopis rakendus-matemaatika alam-harud. Kvant-arvutite osa võib vaadelda kui rakendusmatemaatikat. Aga eks proovida seda kõike mingisse keskkooli-matemaatika-tundidesse ära mahutada, kasvõi reaalgümnaasiumis.... lihtsalt materjali on liiga palju, et head ülevaadet anda, millest siis ka vast see ekslik arusaam, et matemaatika ongi vaid....
Meenutan, et male lahenduskäikude otsimine on mänguteooria üks klassikalisemaid näiteid ja seal on matemaatikat nii et kuhjaga. Tänan lugemast.
Üks näide ülesandest, kus matemaatika on teismeliste jaoks AKTUAALNE.
VastaKustutaKui kondoomi purunemise tõenäosus on 5% ja vahekorrad toimuvad hetkeil, mil ilma kondoomita toimub rasestumine, siis juhul kui ühel meessoost isikul võib olla mitu naissoost sekspartnerit ja sel meessoost isikul toimub 1 vahekord nädalas, siis mitu nädalat kulub, et võib olla pea-aegu kindel, et see meessoost isik saab abortide ja rasestus-katkestus-tablettide mitte-kasutamisel isaks?
Milline matemaatikaõpetaja soovib olla nii julge, et selliseid ülesandeid teismelistest õpilastele klassi ees ette lugeda?
Mu eelmises kommentaaris toodud ülesande peale saab päris pika aurtelu üles ehitada, näiteks, et mis juhtub siis, kui kasutada vaid 1 sekspartnerit, mis juhtub siis, kui sekspartneri vastavad perioodid ajas muutuvad, mis juhtub siis, kui kasutada 2 kondoomi, et kas siis on purunemise tõenäosus 5% või 5%/2=2,5% + tootearendus ja testimine, näiteks eri füüsika katsed eri firmade kondoomidest veeepommide tegemisel, kus kaaluga uurida, kui mitu kg vett üks või teine kondoomimark enne purunemist välja kannatab, mis on ju tegelikult oluline teema näiteks ehituskonstruktsioonide vastupidavuse teemal, kus ju samuti testitakse materjale, et milliseid pingeid vastu peab. Lisanduvad näiteks arvutused kiirenduse ja jõu kohta, et kui kondoom on oma lõhkemise ääreni vett täis lastud, siis milline võib olla kiirendus, millele kondoomist veepomm veel vastu peab enne lõhkemist, jne.
VastaKustutaMulle meenus, et ma kunagi, tuleb välja, et 2011. aastal, kirjutasin oma tollasesse ajaveebi selgituse, kuidas täiesti põhikooli-matemaatikaga saab ära näidata, et arvude 0 ja 1 vahel on täpselt sama palju reaalarve nagu on arvude 0 ja miljon vahel. Intuitsioon ju ütleb, et 1000000/1=1000000 ehk lõik pikkusega 1 ehk [0;1] on ju miljon korda lühem kui lõik pikkusega miljon ehk [0;1000000] ja seega kui lõiku [0;1] läheb mingi kogus mingeid reaalarve, siis lõiku [0,1000000] peaks neid ju miljon korda rohkem mahtuma, aga täiesti matemaatilise täpsusega tuleb välja, et TÄPSELT sama palju läheb ja seda saab selgitada lausa põhikooli-matemaatikgaga. Detailid:
VastaKustutahttps://yellow-soap-opera-blog.blogspot.com/2011/04/few-funny-words-about-rationality-and.html
hämmastav, kuidas toimib uuema aja sotsiaalmeedia. olen siiamaani arvanud, et seks, veri ja vägivald on see, mis toovad lugejaid. oh ei, matemaatika.
VastaKustutatänan siinkohal kommenteeriaid, teie panus põhjustab heldimust. ilma irooniata.